Cenni di ottica

È impossibile comprendere il funzionamento del telescopio in maniera completa senza conoscere qualche cenno di ottica. È naturale che queste conoscenze non sono necessarie e l'esperienza la fa da padrona, ma permettono di avere un'idea più o meno precisa di cosa dovrebbe accadere quando si ha a che fare con un preciso schema ottico.

Come è noto, la luce è, in particolari condizioni (che non approfondiremo, l'importante è sapere che queste condizioni nel caso dell'osservazione astronomica sono verificate), un'onda elettromagnetica a frequenza molto elevata. Se andiamo ad analizzare lo spettro delle onde elettromagnetiche, che divide l'asse delle frequenze (rispettivamente delle lunghezze d'onda) in gruppi, notiamo che lo spettro relativo alle onde nel visibile è solamente una piccola parte dello spettro totale. 

Nell'osservazione puramente visuale, ci interessa ciò che i nostri sensori, ovvero gli occhi, più nello specifico i coni ed i bastoncelli, riescono a catturare. Ci limitiamo pertanto unicamente a questa parte delle frequenze elettromagnetiche. Alle altre noi siamo completamente ciechi.

L'ottica si interessa dello studio del campo elettromagnetico a frequenza elevata. In realtà si intende genericamente per frequenza ottica qualunque frequenza “grande”. Ovviamente “grande” non ha senso se non rapportato alle dimensioni dei corpi coinvolti.

In tal caso, nelle nostre applicazioni, abbiamo a che fare con grandezze nell'ordine dei millimetri o centimetri (con riferimento a ciò che si trova nel fascio ottico, lenti, e specchi). Questo vuol dire che la luce visibile, che ha una lunghezza d'onda dell'ordine dei micrometri, è molto più piccola delle dimensioni dei corpi coinvolti e di conseguenza possiamo supporre la frequenza grande, in prima approssimazione tendente all'infinito. Ciò naturalmente approssima quello che accade nella realtà, dove le imperfezioni delle superfici sono di dimensioni estremamente ridotte (parleremo diffusamente di queste nel seguito).

Nello studio dei campi elettromagnetici questa proprietà dell'onda luminosa (e di un'onda elettromagnetica analoga) consente di semplificare l'analisi tramite l'uso dell'ottica geometrica. Tale approssimazione (perché di approssimazione si tratta, vale esattamente solo se la frequenza è “infinita”, non “grande ma finita”) consente di trattare la luce come raggi piuttosto che come funzione complessa dello spazio e del tempo. Un raggio non è altro che un cammino dello spazio non necessariamente rettilineo lungo cui il campo (quindi in particolare la luce) si propaga. Questa approssimazione è molto comoda perché non abbiamo più a che fare con complesse trattazioni matematiche (di dubbio interesse per questa sede); di uno strumento ottico, in generale di una superficie riflettente o rifrangente (quindi rispettivamente specchio o lente), ci interesserà come essa possa deviare i raggi proveniente dalla sorgente (ad esempio un corpo celeste). In questo modo, variando la forma, posizione e materiale della superficie, possiamo far compiere al raggio il tragitto che preferiamo per raggiungere i nostri scopi. Tale progetto, che viene implementato nei programmi per la progettazione di elementi ottici per telescopi come SAOTrace, parte dal presupposto (cosa che può essere verificata matematicamente) che una sorgente sufficientemente lontana rispetto all'obiettivo sia praticamente all'infinito. Allo stesso modo, se il suo diametro angolare è piccolo, essa può essere pensata come una sorgente puntiforme.

Ciò è necessario perché è possibile dimostrare matematicamente che i raggi provenienti da una sorgente molto distante rispetto alle grandezze in gioco arrivano paralleli e rettilinei sull'ostacolo (la terra, i nostri occhi, il telescopio, il binocolo... Verificheremo più avanti questa ipotesi e ne comprenderemo pro e contro). Abbiamo in questo modo un'idea di come questi raggi ci giungono dal cielo. Dobbiamo vedere allora cosa succede quando essi incidono sulle lenti o sugli specchi

Un passo indietro: riflessione e rifrazione

Abbiamo parlato di superfici riflettenti e rifrangenti. Cosa significa? Questo concetto è di fondamentale importanza in qualunque applicazione di campi elettromagnetici; lo è, ma in maniera estremamente semplificata, anche in ottica. Il disegno a lato rappresenta brevemente il comportamento propagativo di un'onda elettromagnetica ad alta frequenza (quindi il suo raggio) quando incide su un semispazio piano indefinito: per semplificare, abbiamo un fascio luminoso che parte da un certo luogo dello spazio (il quale ha certe caratteristiche, che riassumiamo con il valore n1, che poi illustrerò), ad esempio l'universo, e colpisce un “qualcosa” piano (ad esempio uno specchio o una lastra di vetro) con certe caratteristiche riassunte in n2.

Il coefficiente n è detto coefficiente di rifrazione. Esso dipende solo dal materiale di cui è fatta la regione su cui incide l'onda e dalla frequenza dell'onda.

Per tale situazione, vale la cosiddetta legge di Snell, che lega l'angolo di incidenza all'angolo di riflession/rifrazione. In particolare, per la riflessione vale che

theta1=theta2

e per la rifrazione

n1*sin(theta1)=n2*sin(theta3)

In tal modo, nell'esempio appena fatto, siamo in grado, noto l'angolo di incidenza, di sapere con che angolo il raggio diparte dalla superficie o la attraversa. Il classico esempio è una stecca di legno immersa nell'acqua. Essa ci appare spezzata, piegata o semplicemente più corta. Ciò dipende dal fatto che i raggi che partono da essa vengono rifratti passando attraverso l'interfaccia acqua/aria e ciò che giunge al nostro occhio sono quindi dei raggi deviati che ci appaiono provenire da una direzione diversa da quella della parte di stecca fuori dall'acqua.

Perché questo esempio? Per un qualunque campo elettromagnetico, questo è un caso canonico che può essere studiato. Ma noi non abbiamo  che fare con superfici piane (le lenti e gli specchi convergenti/divergenti sono curvi) né indefinite (avranno un certo diametro)!

L'ottica geometrica ci consente, in particolari condizioni, di eliminare questi vincoli in prima approssimazione. In particolare, per un qualunque raggio che incide su una qualunque superficie, accadono le seguenti cose:

1. L'angolo con cui il raggio viene riflesso (torna indietro) o rifratto (entra nella seconda zona) è dato dalle leggi di Snell

2. L'angolo di incidenza viene determinato prendendo sulla superficie il piano tangente la superficie nel punto di impatto

Questo importante risultato ci fa capire quanto sia semplice il cosiddetto “ray tracing”, o “tracciamento dei raggi”: basta conoscere l'angolo di incidenza in ogni punto e il coefficiente di riflessione per capire come verrà deviato un fascio luminoso (che è costituito da una moltitudine di raggi). Al contempo (che è la cosa che più ci interessa), noto l'angolo di provenienza dei raggi, si può progettare una lente o uno specchio, ovvero il materiale da utilizzare (quindi il coefficiente n) e la forma della superficie, affinché i raggi vengano deviati come ci interessa. Siamo passati quindi dall'analisi del problema ("cosa succede se...") alla progettazione.

Di solito lenti e specchi (a parte qualche caso particolare di specchi piani) sono costituiti da superfici simmetriche rispetto ad un asse detto asse ottico. È così ad esempio per gli specchi parabolici o sferici. In particolare (ciò verrà approfondito nel seguito) si definisce fuoco di un sistema ottico (lente e specchi o un qualunque insieme di lenti e specchi) il punto, se esiste, in cui si incontrano tutti i raggi che incidono parallelamente all'asse ottico ed emergono dal sistema.

Supponiamo di avere una situazione di questo tipo: un obiettivo (a caso) fatto in modo tale che il fuoco del sistema ottico sia in F. Cosa succede al fascio luminoso quando impatta sulla superficie? Applicando la legge della rifrazione di Snell, in base al coefficiente di rifrazione il raggio subisce una curvatura. I vetri che si utilizzano per le lenti fanno sì che una lente convessa faccia convergere un raggio che giunge parallelo all'asse ottico. Se ben progettato, si avrà un unico punto di fuoco (supponendo una sorgente monocromatica, poi vedremo perché). Ovviamente questo punto di fuoco sarà tanto più lontano o più vicino in base alla curvatura delle lenti. Notare che, essendo le superfici simmetriche rispetto all'asse ottico, il piano tangente al centro della lente è perpendicolare ai raggi. Ciò vuol dire che in quel punto, applicando la legge di Snell, il raggio impatta con un angolo theta1 pari a zero e di conseguenza il raggio riflesso emerge lungo l'asse ottico (theta1=theta2=0) e il raggio che attraversa la lente procede senza deflessioni (theta1=0 => theta3=0 poiché n2 diverso da 0).

Altro esempio che possiamo fare è quello di un newtoniano. Lo specchio primario è di tipo sferico o parabolico, ciò perché tale forma permette di avere un unico fuoco facile da determinare per banali considerazioni geometriche (e non solo). Il procedimento è analogo ma in tal caso si usa la legge della riflessione di Snell. Lo specchio, concavo, permette di deviare i raggi riflessi facendoli convergere nel fuoco, che si trova al di là del secondario. I raggi poi arrivano su uno specchio piano a 45°. Questa configurazione permette di dire che il raggio emerge a 45° rispetto alla perpendicolare al piano, quindi il fascio luminoso viene deviato lateralmente ottenendo un nuovo fuoco. In questo modo è possibile mettere un fuocheggiatore laterale.